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By Waclaw Sierpinski, I. N. Sneddon, M. Stark

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1 und n! = n · (n − 1)! f¨ ur n > 1 die Zahl n! (gesprochen n Fakult¨ at) definiert. Dar¨ uber hinaus soll 0! = 1 sein. Man hat damit einen Anfang (n¨ amlich 1! = 1) und kann alle Werte von n! f¨ ur ein beliebiges n ∈ N ableiten. Es ist 2! = 2 · 1! = 2 · 1 = 2, also 3! = 3 · 2! = 3 · 2 = 6 und somit 4! = 4 · 3! = 4 · 6 = 24 sowie 5! = 5 · 4! = 5 · 24 = 120. Es reicht sicherlich an dieser Stelle mit dem Rechnen, denn das Prinzip ist offensichtlich. Man baut auf, Schritt f¨ ur Schritt, Zahl um Zahl.

Nun kann man ausnutzen, dass N1 als endliche Menge nat¨ urlicher Zahlen ein kleinstes Element hat und die Elemente in N2 nach Wahl dieser Menge ohnehin alle viel zu groß sind. 2 Sei eine nicht endliche Teilmenge N von N gegeben. Dann w¨ ahlt man ein n ∈ N und betrachtet die Menge N1 := {m ∈ N | m ≤ n}, die eine nicht leere, endliche Teilmenge von N ist. Nach dem obigen Ergebnis besitzt N1 ein kleinstes Element m0 . Setzt man N2 := {m ∈ N | m > n}, so gilt offensichtlich N = N1 ∪ N2 sowie m0 ≤ n.

Manchem geht es da nicht anders als Lukas, dessen Meinung zu solchen Beweisen man auf Seite 12 nachlesen kann. Im oben gegebenen Beispiel kann man nat¨ urlich die Zahlen nacheinander durchgehen und so die kleinste finden. Das funktioniert aber nur, wenn dieses Vergleichsverfahren zu einem Ende kommt (wie hier nach sechs Schritten), was nicht immer der Fall sein muss. Im Folgenden soll daher die Grundidee pr¨ azisiert und verallgemeinert werden. 1 Eine Teilmenge M von N heißt endlich, falls eine Zahl n ∈ N existiert mit m ≤ n f¨ ur alle Elemente m ∈ M .